Một con số bí mật


  Thượng Đế tạo ra các con số, phần còn lại do con người 
         ------(Leopold Kronecker, 1823-1891)
  1. Con số π

Trong lịch sử loài người, có một con số khá bí mật đã làm say mê rất nhiều người. Qua nhiều thế hệ, từ cổ xưa đến hiện đại, nhiều bộ óc phi thường đã tìm cách tính ra con số đó để rồi người ta thấy chỉ có thể tính ra một con số gần đúng mà thôi. Con số(1) này không thể viết thành một con số nguyên hữu hạn (finite integer), một phân số (fraction) hay một số vô tỷ (irrational) được. Đến nay, mọi người đã chấp nhận đó là một con số siệu việt (transcendent)

Người ta biết đến con số bí mật này khi người ta chia Chu vi (C: circonference) bất cứ một hình tròn nào với đường kính (d: diameter) của vòng tròn ấy. Điều dó có nghĩa là tỷ số Chu vi chia cho đường kính bất cứ hình tròn nào – lớn nhỏ bất kỳ – là một hằng số.

Ngày nay, tất cả mọi người đều dùng một chữ Hy lạp để chỉ hằng số đó: đó là chữ π đọc là Pi.

  1. Chu vi và Diện tích hình tròn

Thông thường, một hình tròn được xác dịnh bởi tâm vòng tròn và đường bán kính

Pi-13 Formule

 

Từ Chu vi hình tròn, người ta đã tính ra được diện tích hình tròn (A: area) bằng cách như sau.

Người ta a chia hình tròn ra là 16 phần bằng nhau như hình vẽ dưới đ ây

Cách tính diện tích hình tròn

Cách tính diện tích hình tròn

 

rồi cắt thành 16 phần riêng rẽ. Ta xếp 16 phần đó thành một hình như trên, ta sẽ được một hình trông giống như một hình bình hành (paralelograme)

Nếu ta coi đó là một hình bình hành thì diện tích của hình đó chính là tích số của chiều đáy nhân với chiếu cao.

Chiều đáy là một nửa chu vi hình tròn = πr. Chiều cao lại là bán kính r hình tròn. Như vậy:

Diện tích hình tròn là x r hay là A = πr2

3. Ký hiệu π (Pi) ở đâu ra?

Theo nhà toán học đồng thời cũng là một sử gia Florian Cafori (1859-1930) thì người đầu tiên dùng ký hiệu chữ số Hy lạp trong hình học là ông William Oughtred (1575-1660). Để chỉ Chu vi, tiếng Anh là “periphery”, ông dùng chữ Hy lạp Pi (π) Để chỉ đường kính, tiếng Anh là “diameter” ông dùng chữ Hy lạp Delta

Năm 1760 ông William Jones (1675-1749) trong cuốn sách Synopsis Palmariorum Matheseos, ông dùng luôn chữ Pi (π) để chỉ tỷ số chu vi chia cho đường kính hình tròn.

Phải chờ đến nhà toán học danh tiếng là ông Leonard Euler, người Thụy sĩ, thì ký hiệu Pi (π) mới được dùng một cách rộng rãi, và được tất cả mọi người công nhận và dùng như là tỷ số Chu vi chia cho đường kính một hình tròn Đó là năm 1748, Leonard Euler viết trong cuốn sách Introductio in analysin infinitorum.

  1. Vài hàng tiểu sử ông Leonard Euler

Pi-17 Eul form

Ông Leonard Euler

Ông Leonard Euler

Ông Leonard Euler sinh năm 1707 tại Basel, Thụy sĩ. Khi còn nhỏ thân phụ ông dạy ông toán học. Thân phụ ông đã học toán với một nhà toán học nổi danh là ông Jakob Bernoulli. Nhận thấy cậu con trai Leonard rất có khiếu về toán ông đã thu xếp để con trai học toán với con ông thầy mình là ông Johann Bernoulli, cũng là một nhà toán học có tiếng thời đó.

Đến năm ông được 20 tuổi, Euler đã có một chân giáo sư dậy toán tại Viện đại học Nga Russian Academy in St Petersburg. Ông ở đó 14 năm để trở nên người đứng đầu ngành toán học của viện. Sau đó ông được mời vế viện đại học nước Phổ, Prussian Academy. Tuy nhiên ông vẫn giữ mối liên lạc với viện đại học Nga.

Năm 1735 Nữ hoàng Nga là bà Catherine Đại Đế (Catherine the Great) mời ông sang Nga để diện kiến nhà toán học lừng danh. Khi đó ông đã bị mù cả hai mắt. Tuy bị khiếm thị, ông vẫn tiếp tục viết sách toán bằng cách đọc cho người thư ký riêng ghi chép. Ông làm được chuyện này nhờ ông có một trí nhớ siêu việt. Sau khi ông chết, nhiều bản nghiên cứu toán học của ông vẫn còn được đăng trong cuốn Proceedings of the Academy.

Ngưòi ta tính ra ông đã viết ra 886 vừa sách vừa tài liệu nghiên cứu toán học. Giống như nhạc sĩ Beethoven đã bị điếc vào cuối đời, cho nên ông không bao giờ nghe thấy một số bản nhạc ông sáng tác, Leonard Euler không bao giờ trông thấy một số công trình khảo cứu Toán học ông viết ra.

Toán học đối với ông Euler bao gồm đủ lãnh vực: Hình học (geometry), Số học (arithmetic) hay là Lý thuyết về các con số (theory of number), Đại số học (algebra), Lượng Giác học (trigonometry), Lịch sử Toán học (history of mathematics) và nhất là phép tính Vi phân (Calcul Infinitesimal) Vi phân và Tích phân (Calcul Differential & Integral)

  1. Lịch sử sự phát triển của con số Pi

5.1 Thời tiền sử trước tây lịch

Từ khi loài người biết làm ra cái bánh xe, người ta đã biết đo chu vi của hình tròn. Đơn giản nhất là cho bánh xe hình tròn lăn trên mặt đất. Mọi người đều thấy chu vi hình tròn bao giờ cũng hơi dài hơn đường kính hình tròn ấy một khoảng bằng một phàn chín chu vi hình tròn.

Người đầu tiên dùng nhận xét này là một người Ai Cập, ông Ahmes, khoảng năm 1650 trước Tây lịch. Ông cho rằng nếu ta có một hình vuông mà cạnh dài bằng  8/9 đường bán kính một hình tròn thì diện tích hình tròn và hình vuông đó phải bằng nhau.

Bây giờ chúng ta chưa cần quan tâm đến điều đó đúng hay sai, bởi vì diện tích hình tròn được tính ra bằng một cách khác với cách tính ra diện tích hình vuông.

Pi-21 ngày

Con số  Pi đưỡc tính ra không khác mấy số Pi ta đã biết ngày nay.

Sang đến năm 287 trước Tây lịch, một nhà toán học người Hy Lap – ông Archimède – tìm hiểu số Pi bằng một cách khác. Ông Archimède để ý đến những hình đa giác (polygone) nội tiếp (inscribe in) trong hình tròn, từ một tam giác đều, hình vuông, đến các hình sáu cạnh đều, tám cạnh đều.. nội tiếp trong hình tròn. Chúng ta có thể tính được mỗi cạnh của hình đa giác theo bán kính hình tròn, dùng một công thức lượng giác học. Từ đó ta tính ra ra chu vi các hình đa giác nội tiếp đó. Khi số cạnh hình đa giác nội tiếp trong hình tròn tăng lên thì chu vi hình đa giác sẽ tiến dần đến chu vi hình tròn. Chia chu vi hình đa giác đó cho bán kính hình tròn ta sẽ được một con số gần đúng với số Pi. Vì hình đa giác nội tiếp trong hình tròn nên số Pi gần đúng tính ra phải nhỏ hơn số Pi thực sự.

Pi-4 polyPi-5 CircumsDùng lý luận trên với những hình đa giác (polygone) ngoại tiếp (circumscribe) với hình tròn, người ta tính ra mỗi cạnh của hình đa giác theo bán kính hình tròn, dùng một công thức lượng giác học. Từ đó ta tính ra ra chu vi các hình đa giác ngoại tiếp đó. Khi số cạnh hình đa giác ngoại tiếp với hình tròn tăng lên thì chu vi hình đa giác sẽ tiến dần đến chu vi hình tròn. Chia chu vi hình đa giác đó cho bán kính hình tròn ta sẽ được một con số gần đúng với số Pi. Vì hình đa giác ngoại tiếp với hình tròn nên số Pi gần đúng tính ra phải lớn hơn số Pi thực sự.

Với những phép tính đó ông Archimède đã chứng minh được con số Pi là một số lớn hơn 223/71  nhưng nhỏ hơn 22/7.

Ông Archimède

Ông Archimède

Ông Archimède là một khoa học gia rất nổi tiếng đương thời. Vua Marcellus Claudius của La Mã rất ngưỡng mộ ông. Khi vua Marcellus Claudius tấn công thành Syracuse là quê hương ông Archimède, ông đã ra lệnh không được sát hại nhà khoa học gia Archimède. Chẳng may ông đã bi một bịnh sĩ La Mã đâm ông chết (212 Trước Tây Lịch)

Chuyện kể rằng ông Archimède lúc còn sinh thời ông để lại chúc thư ông muốn mộ chí của ông phải có một hình cầu (sphere) nằm khít trong một hình trụ (cylinder) nhỏ nhất có thể được, trên đó phải ghi tỷ số thể tích (volume) hình Cầu trên thể tích hình tru mà ông đã tính ra và coi là một kỳ công trong cuộc đời của ông

5.2 Thế kỷ sau Tây lịch

Sang những thế kỷ sau Tây Lịch, nhiều nhà toán học đã nghiên cứu con số Pi bằng nhiều phương pháp khác nhau để tính con số Pi với nhiều số lẻ hơn, tức lá gần sát với con số thực hơn

Nhà Toán học người Đức ông Ludolph Van Ceulen (1540-1610) vẫn dùng phương pháp của ông Archimède, nhưng với những hình đa giác đều 262 cạnh, ông đã tính được con số Pi với 32 số lẻ sau dấu phẩy.

Một nhà toán học người Đức khác ôngcarl Friedrich Gauss (1777-1855) để ý đến những hình vuông nằm trong một vòng tròn và đếm số hình vuông và các cạnh tiếp xúc với hình tròn, để tính ra con số Pi là 3,1415926..

Pi-18 Người ta

 

 

Để tính những xâu chuỗi cớ nhiều thành phần, người ta phải dùng đến máy vi tính (Computer), cho chạy rất lâu

Ông Srivasa Ramanujan

ÔngRamanujan

Ngày nay, máy vi tính đã tính ra con số Pi với 100,000 số lẻ sau dấu phẩy!

Con số này nếu in trên giấy, các con số in liền nhau không ngắt quãng, sẽ cần đến 28 trang giấy!

Trên thực tế, một con số Pi với 50 số lẻ sau dấu phẩy là quá đủ để dùng trong mọi nghiên cứ khoa học. Con số đó là:

3, 14158 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

  1. Những câu vè (thơ) để dễ nhớ con số Pi

Tại nhiều quốc gia người ta đã đặt ra những bài thơ thất vận, tạm gọi là vè, cho dễ nhớ.

Trong câu vè,  mỗi tiếng có một số chữ. Số chữ này là đơn vị của chữ Pi

Tại Việt Nam, dưới thời Pháp thuộc, họ trò phải học mấy câu vè sau về con số Pi;

Tiếng Pháp

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages

3     1   4     1    5             8           2         6            5       3        5

Glorieux Archimède artiste ingenieux

8               9                 7               9

Toi de qui Syracuse loue encore le mérite

3   2   3            8            4         6        2     6

Tiếng Anh:

How I wish I could enumerate Pi easily since all these

3     1   4      1   5               8              2     6       5          3      5

Horrible mnemonics prevent recalling any of Pi’s sequence more simply

8                  9                      7             9        3        2   3               8         4             6

Tiếng Tây Ban Nha

Soy P lema y razon ingeniosa

3   1   4     1         5         8

De hombre sabio que serie preciosa

2          6             5       3         5       8

Valorando enuncio magistral

9               7              9

Com mi ley sinegular bien medodi

3      2   3           8              4       6

El grande obre por fin reducio

2       6         4       3       3     6

Cho tới nay, tôi chưa thấy có một bài vè nào bằng tiếng Việt cho học sinh dễ nhớ số Pi.

Cước chú Đây có thể là một thách thức cho các độc giả Vườn Đào. Bạn đọc nào nghĩ ra một một bài vè tiếng Việt mô tả con số Pi, dài ngắn bất luận, xin cho tôi biết để đăng trên Vườn Đào, hoặc viết phản hồi trên bài viết, để mọi người cùng thưởng thức.

Tuy nhiên tại Việt Nam, tôi biết đã có một người ngay khi còn nhỏ đã để ý đến số Pi.

Khi cậu này còn học lớp Hai Tiểu học, người ta đã thấy mỗi khi đi học về, tay cầm thước dây, cậu ta đo đường kính và chu vi các vật thể trong nhà như chum, vại, nồi niêu soong chảo, bát đũa vân vân. Cậu ta đều thấy chu vi mỗi vật dài hơn ba lần đường kính vật ấy. Tất nhiên ở tuổi ấy cậu ta chưa thể nghiên cứu sâu sắc hơn con số Pi. Nhưng điều đó chứng tỏ người này rất tò mò, có xu hướng nghiên cứu khoa học.

Thật vậy, nhiều năm sau (1984), ở tuổi 15, cậu ta đã đại diện Việt Nam, thi Toán Quốc tế, đoạt huy chương vàng với điểm tuyệt đối (42/42). Học song Đại học bên Nga với tấm bằng Tiến sĩ Vật Lý học Lý Thuyết (1994), ở tuổi 25, chàng trai này đã sang Hoa Kỳ, làm giáo sư chính thức môn Vật lý học tại các đại học danh tiếng: University of Washington (Seattle), MIT (Boston) , Columbia (New York), University of Chicago (Illinois). Ông đã tham dự nhiều buổi hội thảo và viết nhiều bài tham luận về Vật Lý học cho nên được thế giới khoa học nể trọng.

Có thể vì vậy mà nhà khoa học gia này, đã được National Academy of Science (NAS) của Hoa Kỳ mời vào làm một thành viên của hội. NAS là một tổ chức khoa học độc lập của Hoa Kỳ, thành lập năm 1853 bởi Tổng Thống Abraham Lincoln. Những thành viên của NAS là những nhà khoa học hàng đầu của Hoa Kỳ. Họ tự chọn ra những khoa học gia có tiếng trong nước để mời vào, Ông này là người Việt Nam đầu tiên và duy nhất được NAS mời vào cho tới nay.

________________________________________________­­­­­­­__–

(1) Định nghĩa của những con số (numbers) trong Toán học:

  • Số Hữu Tỷ (rational number) là một con số mà phần số lẻ có một nhóm số tuần hoàn giống nhau.
  • Thí du: đây là hai số hữu tỷ; = 0,666…; =3,14285 14285 …..
  • Số Vô Tỷ (irrational number) là một con số có số lẻ mà không thể viết dưới dạng phân số (fraction) được. Những số lẻ sau dấu phẩy là những số bất kỳ không đoán trước được. Thí dụ: số = 1, 414213562…
  • Số Siêu việt (trascendent number) là một số Vô Tỷ không thể viết ra thành một  hệ thức (relation) đơn giản được  (như một phân số, một phương trình chẳng hạn).  Con số π và con số e trong Logarithm là những số siêu việt.

_______________________________________________________

Tháng 10, 2015

 

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s